Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,02. Среди случайно отобранных 480 изделий оказалось 12 дефектных. Можно ли принять партию? Решение: Уровень значимости возьмем равным 0,05.

Проверим гипотезу о доле бракованных изделий.

Обозначим через (p) вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется бракованным. Партию можно принять, если (p\leq 0{,}02).

Сформулируем гипотезы:

[
H_0: p\leq 0{,}02
]

— доля брака не превышает допустимого значения;

[
H_1: p>0{,}02
]

— доля брака превышает допустимое значение.

Уровень значимости:

[
\alpha=0{,}05.
]

В выборке объёма (n=480) обнаружено (m=12) дефектных изделий. Выборочная доля брака равна

[
\widehat p=\frac{12}{480}=0{,}025.
]

Для проверки гипотезы используем статистику

[
Z=\frac{\widehat p-p_0}
{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}},
]

где (p_0=0{,}02). Подставим значения:

[
Z=
\frac{0{,}025-0{,}02}
{\sqrt{\dfrac{0{,}02\cdot0{,}98}{480}}}.
]

Вычислим стандартную ошибку:

[
\sqrt{\frac{0{,}02\cdot0{,}98}{480}}
\approx 0{,}00639.
]

Следовательно,

[
Z\approx\frac{0{,}005}{0{,}00639}\approx0{,}78.
]

Поскольку проверка правосторонняя, критическое значение при уровне значимости (0{,}05) равно

[
z_{0{,}95}\approx1{,}645.
]

Критическая область имеет вид

[
Z>1{,}645.
]

Полученное значение статистики не попадает в критическую область:

[
0{,}78<1{,}645.
]

Таким образом, на уровне значимости (0{,}05) нет оснований отвергать гипотезу о том, что вероятность брака не превышает (0{,}02).

Точный биномиальный расчёт также приводит к тому же выводу: при (p=0{,}02) вероятность обнаружить не менее 12 дефектных изделий среди 480 составляет приблизительно (0{,}257), что значительно больше уровня значимости (0{,}05).

Ответ: партию можно принять. Наблюдаемая доля брака (0{,}025) немного превышает (0{,}02), однако это превышение статистически незначимо при уровне значимости (0{,}05).