Найдите как можно большее натуральное число, в записи которого не встречается цифра 0, которое делится на сумму своих цифр, причём любое число, получаемое из него отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, обладает тем же свойством.

Искомое число должно обладать свойством Харшада: оно делится на сумму своих цифр. Причем это должно выполняться для всех его начал (чисел, которые получаются отбрасыванием последних цифр).

Проверим такие числа по длине, начиная с коротких. Пусть мы строим число слева направо и каждый новый разряд должен сохранять условие делимости.

Для однозначных чисел подходят все числа от 1 до 9, так как каждое делится на сумму своих цифр.

Для двузначных чисел получаются только:

Для трехзначных чисел, у которых первые две цифры уже подходят, остаются:

Для четырехзначных:

Теперь проверяем возможность добавить еще одну цифру.

Число $2478$ имеет сумму цифр:

Добавим цифру $d$. Получится число:

Но цифра 0 запрещена, поэтому рассматриваем $24781,\dots ,24789$. Сумма цифр будет $21+d$. Проверка делимости дает только вариант:

Для второго четырехзначного числа:

сумма цифр равна:

При добавлении любой цифры от 1 до 9 число $8463d$ не делится на сумму своих цифр, поэтому продолжения нет.

Проверим полученное число:

Сумма его цифр:

Деление:

значит, оно подходит.

Проверим все его начала:

Сумма цифр 2, делится.

Сумма цифр $2+4=6$, $24:6=4$.

Сумма цифр $2+4+7=13$, $247:13=19$.

Сумма цифр 21, $2478:21=118$.

Сумма цифр 27, $24786:27=918$.

Все условия выполнены.

Так как при полном переборе всех возможных продолжений ни одно шестизначное число не получается, а самое длинное подходящее число имеет пять цифр, наибольшее возможное число: