Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила одну четвёртую всего молока и одну шестую всего кофе. Сколько человек в семье?

В семье 5 человек.

Обозначим:

• всё молоко за $M$;

• весь кофе за $K$;

• количество человек в семье за $n$.

Катя выпила одну полную чашку кофе с молоком. В этой чашке было:

всего молока и

всего кофе.

Значит, объём Катиной чашки равен:

А вся семья вместе выпила всё молоко и весь кофе, то есть общий объём напитка равен:

Поскольку каждый выпил по одной полной чашке, то Катина чашка составляет одну $n$-ю часть всего напитка:

Теперь посмотрим на долю Катиной чашки в общем напитке.

Если бы в напитке был только кофе, Катя выпила бы одну шестую всего напитка.
Если бы в напитке было только молоко, Катя выпила бы одну четвёртую всего напитка.

Но напиток состоит и из кофе, и из молока, поэтому доля Катиной чашки должна быть между:

и

То есть:

Теперь подберём целое число $n$.

Доля $\frac{1}{5}$ как раз находится между $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{4}$.

Значит, Катина чашка — это одна пятая всего напитка, а всего таких чашек было 5.

Ответ: в семье 5 человек.