Найдите сумму корней уравнения \(\lg(x+11) - \frac{1}{2}\lg(2x+7) = 2 - \lg25\).

Давайте разберёмся с этим уравнением шаг за шагом.

Уравнение:

Шаг 1: Используем свойства логарифмов

Напомним свойства:

1. $\frac{1}{2} \lg a = \lg \sqrt{a}$

2. $\lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b}$

Применяем их к нашему уравнению:

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Запомним, что $2 = \lg 100$, так как $\lg 100 = 2$.

Теперь уравнение выглядит так:

Шаг 3: Убираем логарифмы

Так как логарифм строго возрастающий, равенство под логарифмами даёт:

Шаг 4: Решаем полученное уравнение

Умножим обе части на $\sqrt{2x+7}$:

Возводим обе части в квадрат:

Раскроем левую часть:

Приводим все к одной стороне:

Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения

Используем формулу: $x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4\cdot1\cdot9}}{2}$

Корни:

Шаг 6: Проверяем область определения

$\lg(x+11)$ и $\lg(2x+7)$ требуют, чтобы аргументы были положительными: