Найти наименьшее и наибольшее значения функции y = sinx на отрезке [π/6; 7π/6].

Ответы на вопрос

Отвечает Абросимов Александр.

Давайте разберём этот вопрос шаг за шагом, как на сайте с вопросами и ответами.

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции

y = \sin x

на отрезке

[\pi/6; 7\pi/6].

Шаг 1. Анализ функции

Функция $\sin x$ — это периодическая и непрерывная функция, и на отрезке она достигает своих экстремумов либо на концах отрезка, либо в критических точках, где производная равна нулю.

Производная:

y' = \cos x.

Критические точки:

\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.

На нашем отрезке $[\pi/6; 7\pi/6]$ это будет только

x = \frac{\pi}{2} \quad (\text{потому что } \pi/2 \in [\pi/6; 7\pi/6]).

Шаг 2. Проверка концов отрезка и критической точки

Левая граница: $x = \pi/6$

\sin(\pi/6) = \frac{1}{2}

Правая граница: $x = 7\pi/6$

\sin(7\pi/6) = \sin(\pi + \pi/6) = -\sin(\pi/6) = -\frac{1}{2}

Критическая точка: $x = \pi/2$

\sin(\pi/2) = 1

Шаг 3. Определение наибольшего и наименьшего значения

Наибольшее значение: $y_\text{max} = 1$ при $x = \pi/2$
Наименьшее значение: $y_\text{min} = -1/2$ при $x = 7\pi/6$

✅ Ответ

\boxed{\text{Наибольшее значение: } 1, \quad \text{Наименьшее значение: } -\frac{1}{2}}

Если хотите, можно ещё нарисовать график, чтобы визуально убедиться, что эти точки действительно экстремальные.

Последние заданные вопросы в категории Математика