Найдите наименьшее значение функции \( y = 5x - \ln(x + 8)^5 \) на отрезке \([-7.5; 0]\).

Рассмотрим функцию

на отрезке $[-7{,}5;0]$.

Так как $x+8>0$ на всём данном отрезке, преобразуем логарифм:

Тогда функция принимает вид:

Найдём производную:

Приравняем её к нулю:

Точка $x=-7$ принадлежит отрезку $[-7{,}5;0]$, значит её нужно проверить вместе с концами отрезка.

Вычислим значения функции.

При $x=-7{,}5$:

Так как $\ln(0{,}5)<0$, это значение больше $-37{,}5$, примерно:

При $x=-7$:

При $x=0$:

Сравним значения:

Следовательно, наименьшее значение функции равно