Найдите наименьшее значение функции \( y = x^3 - 3x^2 + 19 \) на отрезке \([1; 3]\).

Рассмотрим функцию:

Нужно найти её наименьшее значение на отрезке $[1;3]$.

Найдём производную:

Вынесем общий множитель:

Критические точки находятся из уравнения:

Отсюда:

Из этих точек отрезку $[1;3]$ принадлежит только $x = 2$.

Теперь вычислим значение функции в концах отрезка и в критической точке:

Сравним полученные значения:

Наименьшее из них равно:

Ответ: 15.