Решите уравнение 2cos(x-3pi/2)*cos(2pi-x)=(sqrt3)*sinx и найдите все корни на отрезке [-pi; pi/2]

Ответы на вопрос

Отвечает Пенкин Владимир.

Решим уравнение:

2\cos\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)\cos(2\pi-x)=\sqrt3\sin x

Нужно найти все корни на отрезке:

\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]

Преобразуем тригонометрические выражения.

Сначала упростим:

\cos\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)

Используем формулу:

\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b

Тогда:

\cos\left(x-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos x\cos\frac{3\pi}{2}+\sin x\sin\frac{3\pi}{2}

Так как

\cos\frac{3\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{3\pi}{2}=-1,

получаем:

\cos\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=-\sin x

Теперь упростим второе выражение:

\cos(2\pi-x)

Так как косинус — чётная периодическая функция, то

\cos(2\pi-x)=\cos x

Тогда исходное уравнение принимает вид:

2(-\sin x)\cos x=\sqrt3\sin x

То есть:

-2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x

Перенесём всё в одну сторону:

-2\sin x\cos x-\sqrt3\sin x=0

Вынесем $\sin x$ за скобки:

\sin x(-2\cos x-\sqrt3)=0

Получаем два случая.

Первый случай:

\sin x=0

Отсюда:

x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z

На отрезке

\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]

подходят значения:

x=-\pi,\qquad x=0

Второй случай:

-2\cos x-\sqrt3=0

Тогда:

-2\cos x=\sqrt3

\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}

Косинус равен $-\frac{\sqrt3}{2}$ при:

x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z

На отрезке

\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]

подходит только:

x=-\frac{5\pi}{6}

Положительное значение $\frac{5\pi}{6}$ не подходит, потому что

\frac{5\pi}{6}>\frac{\pi}{2}

Итак, все корни на заданном отрезке:

\boxed{x=-\pi,\;-\frac{5\pi}{6},\;0}

Решите уравнение 2cos(x-3pi/2)cos(2pi-x)=(sqrt3)sinx и найдите все корни на отрезке [-pi; pi/2]