10 детей стоят по кругу. На каждом из них сидит комар. Раз в минуту 2 комара вылетают, и каждый из них садится:
а) на одного из соседних детей;
б) на ребёнка, стоящего через одного от того, с которого он взлетел.
Какое наибольшее число комаров может оказаться на одном ребёнке? Ответ поясните.

Наибольшее число комаров, которое может оказаться на одном ребёнке, — 10.

Пояснение. Пронумеруем детей по кругу от 0 до 9. В начальный момент на каждом ребёнке по одному комару. За одну минуту мы можем выбрать любых двух комаров (в том числе с одного и того же ребёнка) и переместить каждого либо на соседнего ребёнка (сдвиг на ±1), либо на ребёнка, стоящего через одного (сдвиг на ±2). Никаких ограничений на число комаров на одном ребёнке нет, поэтому можно постепенно собрать всех комаров на одном ребёнке, например на ребёнке 0.

Пример стратегии:
1) Перемещаем комара с ребёнка 1 на 0 (сосед) и комара с ребёнка 9 на 0 (сосед). Теперь на ребёнке 0 три комара.
2) Перемещаем комара с ребёнка 2 на 0 (через одного, так как от 2 до 0 два шага) и комара с ребёнка 8 на 0 (через одного). На ребёнке 0 становится пять комаров.
3) Перемещаем комара с ребёнка 3 на 1 (сосед) и комара с ребёнка 7 на 9 (сосед).
4) Перемещаем комара с ребёнка 1 на 0 (сосед) и комара с ребёнка 9 на 0 (сосед). Теперь на ребёнке 0 семь комаров.
5) Перемещаем комара с ребёнка 4 на 2 (через одного) и комара с ребёнка 6 на 8 (через одного).
6) Перемещаем комара с ребёнка 2 на 0 (через одного) и комара с ребёнка 8 на 0 (через одного). На ребёнке 0 девять комаров.
7) Остался один комар на ребёнке 5. Перемещаем его на 3 (через одного, так как от 5 до 3 два шага) и одновременно, например, любого комара с ребёнка 0 на 1 (сосед), чтобы соблюсти правило двух комаров за минуту.
8) Наконец, перемещаем комара с ребёнка 3 на 1 (сосед) и комара с ребёнка 1 на 0 (сосед). Теперь все 10 комаров на ребёнке 0.

Таким образом, можно собрать всех комаров на одном ребёнке, поэтому наибольшее возможное число — 10.

0 0 Пожаловаться