Разложите функцию f(z)= 1/((z+1)(z-2)) в ряд Лорана в кольце 1 < |z| < 2.

Разложим дробь на простые:

\[ \frac{1}{(z+1)(z-2)}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{z-2} \]

Получаем \(A=\frac{1}{3}\), \(B=-\frac{1}{3}\), значит

\[ f(z)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{z+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{z-2} \]

В кольце \(1<|z|<2\):

\[ \frac{1}{z+1}=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{z}}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^{-n} \]

и

\[ \frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^n \]

Тогда ряд Лорана:

\[ f(z)=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^{-n-1}+\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^n \]

То есть:

\[ f(z)=\frac{1}{3z}-\frac{1}{3z^2}+\frac{1}{3z^3}-...+\frac{1}{6}+\frac{z}{12}+\frac{z^2}{24}+... \]

0 0 Пожаловаться