Разложить функцию в степенной ряд: 1/((1-x)(1-3x)).

Разложим функцию в степенной ряд с помощью разложения на простейшие дроби и геометрической прогрессии.

1. Разложение на простейшие дроби:

\[ \frac{1}{(1-x)(1-3x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1-3x} \]

Приводим к общему знаменателю: \( 1 = A(1-3x) + B(1-x) \).

При \( x = 1 \): \( 1 = A(1-3) \Rightarrow A = -\frac{1}{2} \).

При \( x = \frac{1}{3} \): \( 1 = B\left(1-\frac{1}{3}\right) = B\cdot\frac{2}{3} \Rightarrow B = \frac{3}{2} \).

Получаем: \[ \frac{1}{(1-x)(1-3x)} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-x} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1-3x} \]

2. Разложение в ряд:

Используем сумму геометрической прогрессии: \( \frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n \) при \( |u| < 1 \).

Для первой дроби: \( \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \; |x|

0 0 Пожаловаться