Тупоугольный треугольник ABC вписан в окружность радиуса (27√2)/8. Известно, что длины сторон AC и BC равны соответственно 9 и 6. Найдите длину стороны AB.

Обозначим стороны: \(a = BC = 6\), \(b = AC = 9\), \(c = AB\) — искомая. Радиус описанной окружности \(R = \frac{27\sqrt{2}}{8}\), тогда \(2R = \frac{27\sqrt{2}}{4}\).

По теореме синусов:

\[ \sin A = \frac{a}{2R} = \frac{6}{\frac{27\sqrt{2}}{4}} = \frac{24}{27\sqrt{2}} = \frac{8}{9\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{9}, \]

\[ \sin B = \frac{b}{2R} = \frac{9}{\frac{27\sqrt{2}}{4}} = \frac{36}{27\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}. \]

Треугольник тупоугольный, значит один из углов больше \(90^\circ\). Найдём косинусы (с учётом знака):

\[ \cos A = \pm \sqrt{1 - \sin^2 A} = \pm \frac{7}{9}, \quad \cos B = \pm \sqrt{1 - \sin^2 B} = \pm \frac{1}{3}. \]

Если бы угол \(A\) был тупым, то \(\cos A = -\frac{7}{9}\), а сторона \(a = 6\) была бы наибольшей, но \(b = 9 > 6\). Значит, тупым может быть только угол \(B\). Тогда \(\cos B = -\frac{1}{3}\), а \(\cos A = +\frac{7}{9}\).

Найдём \(\sin C = \sin(180^\circ - A - B) = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\):

\[ \sin C = \frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{7}{9} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{27} + \frac{14\sqrt{2}}{27} = \frac{10\sqrt{2}}{27}. \]

Тогда \(c = 2R \sin C = \frac{27\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{10\sqrt{2}}{27} = \frac{10 \cdot 2}{4} = 5\).

Ответ: \(AB = 5\).

0 0 Пожаловаться