1)решите уравнение     19*4(в степени х)-5*2(в степени х+2)+1=0

2)Укажите корни этого уравнения[-5;-4]

1) Преобразуем уравнение:

\(19 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^{x+2} + 1 = 0\)

Так как \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\) и \(2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x\), получаем:

\(19 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 4 \cdot 2^x + 1 = 0\)

\(19 \cdot 2^{2x} - 20 \cdot 2^x + 1 = 0\)

Введём замену \(t = 2^x\), \(t > 0\):

\(19t^2 - 20t + 1 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = (-20)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 1 = 400 - 76 = 324\), \(\sqrt{D} = 18\)

\(t_1 = \frac{20 + 18}{2 \cdot 19} = \frac{38}{38} = 1\)

\(t_2 = \frac{20 - 18}{38} = \frac{2}{38} = \frac{1}{19}\)

Обратная замена:

\(2^x = 1 \Rightarrow x = 0\)

\(2^x = \frac{1}{19} \Rightarrow x = \log_2 \frac{1}{19} = -\log_2 19\)

2) Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = -\log_2 19\).

Проверим принадлежность промежутку \([-5; -4]\):

\(0 \notin [-5; -4]\).

\(\log_2 19 \approx 4{,}247\), поэтому \(-\log_2 19 \approx -4{,}247 \in [-5; -4]\).

Ответ: \(x = -\log_2 19\).

0 0 Пожаловаться