Найдите точки экстремума функции нескольких переменных:
z = -x^2 + xy + y^2 - 2x - 6y

Найдём частные производные:

\(\frac{\partial z}{\partial x} = -2x + y - 2\)

\(\frac{\partial z}{\partial y} = x + 2y - 6\)

Приравняем к нулю и решим систему:

\[ \begin{cases} -2x + y - 2 = 0 \\ x + 2y - 6 = 0 \end{cases} \]

Из первого: \(y = 2x + 2\). Подставим во второе: \(x + 2(2x + 2) - 6 = 0 \Rightarrow x + 4x + 4 - 6 = 0 \Rightarrow 5x - 2 = 0 \Rightarrow x = 0{,}4\). Тогда \(y = 2\cdot0{,}4 + 2 = 2{,}8\).

Критическая точка: \((0{,}4; 2{,}8)\).

Проверим, является ли она экстремумом. Найдём вторые производные:

\(A = z_{xx} = -2\), \(B = z_{xy} = 1\), \(C = z_{yy} = 2\).

Дискриминант: \(\Delta = AC - B^2 = (-2)\cdot2 - 1^2 = -4 - 1 = -5 < 0\). Так как \(\Delta < 0\), экстремума нет — это седловая точка.

Ответ: функция не имеет точек экстремума; критическая точка \((0{,}4; 2{,}8)\) является седловой.

0 0 Пожаловаться