Составьте уравнения оси и директрисы параболы y^2 - 4y + 8x - 12 = 0 и постройте параболу.

Ответы на вопрос

Отвечает Преснова Евгения.

Дано уравнение параболы:

y^2 - 4y + 8x - 12 = 0.

Чтобы найти ось и директрису, приведём уравнение к каноническому виду.

Сгруппируем члены с $y$ :

y^2 - 4y + 8x - 12 = 0.

Выделим полный квадрат:

y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4.

Подставим:

(y - 2)^2 - 4 + 8x - 12 = 0.

(y - 2)^2 + 8x - 16 = 0.

(y - 2)^2 = -8x + 16.

(y - 2)^2 = -8(x - 2).

Получили канонический вид:

(y - 2)^2 = -8(x - 2).

Сравним его со стандартным уравнением параболы с горизонтальной осью:

(y - y_0)^2 = 2p(x - x_0).

Здесь:

x_0 = 2,\qquad y_0 = 2,

значит вершина параболы:

A(2;\,2).

Также:

2p = -8,

откуда

p = -4.

Так как коэффициент отрицательный, парабола раскрывается влево.

Ось параболы проходит через вершину и параллельна оси $Ox$ , поэтому её уравнение:

\boxed{y = 2}.

Фокус параболы имеет координаты:

F\left(x_0 + \frac{p}{2};\, y_0\right).

Так как

\frac{p}{2} = -2,

то

F(2 - 2;\,2),

F(0;\,2).

Директриса имеет уравнение:

x = x_0 - \frac{p}{2}.

Подставим значения:

x = 2 - (-2),

x = 4.

Значит директриса параболы:

\boxed{x = 4}.

Теперь построим параболу. Её вершина находится в точке

(2;\,2).

Ось симметрии:

y = 2.

Парабола раскрывается влево. Для построения можно взять несколько точек.

Из уравнения

(y - 2)^2 = -8(x - 2)

найдём $x$ :

x = 2 - \frac{(y - 2)^2}{8}.

Возьмём значения $y$ , симметричные относительно $y = 2$ .

При $y = 2$ :

x = 2.

Точка:

(2;\,2).

При $y = 0$ :

x = 2 - \frac{(0 - 2)^2}{8} = 2 - \frac{4}{8} = 2 - \frac12 = \frac32.

Точка:

\left(\frac32;\,0\right).

Ответы на вопрос