Известно, что сумма 20 целых чисел n1, n2, …, n20 нечётна. Какие из следующих чисел заведомо чётные?
n1−3n2+n3−3n4+…+n19−3n20
n1⋅n2⋅…⋅n20
n1⋅n2⋅…⋅n10+n11⋅n12⋅…⋅n20
2n1+n2+2n3+n4+…+2n19+n20

Рассуждаем по чётности. Пусть сумма всех чисел

\[n_1+n_2+\ldots+n_{20}\]

нечётна.

1) Число

\[n_1-3n_2+n_3-3n_4+\ldots+n_{19}-3n_{20}\]

имеет ту же чётность, что и сумма всех \(20\) чисел, потому что \(-3\) по чётности то же самое, что \(1\). Значит, оно нечётное, не подходит.

2) Произведение

\[n_1\cdot n_2\cdot \ldots \cdot n_{20}\]

не обязательно чётное. Например, все числа могут быть нечётными, тогда их сумма из \(20\) чисел была бы чётной, но по условию сумма нечётна, значит среди чисел есть хотя бы одно чётное? Нет: сумма нечётна при нечётном количестве нечётных слагаемых. Поэтому произведение может быть и чётным, и нечётным. Не подходит.

3) Число

\[n_1\cdot \ldots \cdot n_{10}+n_{11}\cdot \ldots \cdot n_{20}\]

тоже не обязано быть чётным. Можно подобрать числа так, что одно произведение будет нечётным, а другое чётным. Не подходит.

4) Число

\[2n_1+n_2+2n_3+n_4+\ldots+2n_{19}+n_{20}\]

по чётности зависит только от слагаемых с чётными номерами:

\[n_2+n_4+\ldots+n_{20}\]

Оно не обязательно чётное. Не подходит.

Ответ: среди данных выражений нет таких, которые заведомо чётные.

0 0 Пожаловаться