Составьте дифференциальное уравнение, используя физические законы. В электрическую цепь последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону E = V sin ωt, сопротивление R и самоиндукция L. Найти силу тока в цепи. По условию задачи, используя физические или геометрические законы, составить ДУ и задачу Коши.

В последовательной цепи с сопротивлением \( R \) и катушкой индуктивности \( L \) используем закон Кирхгофа: напряжение источника равно сумме падений напряжения на сопротивлении и катушке.

На сопротивлении: \( U_R = Ri \).
На катушке: \( U_L = L\frac{di}{dt} \).

Так как \( E = V\sin \omega t \), получаем дифференциальное уравнение:

\[L\frac{di}{dt}+Ri=V\sin \omega t\]

Или:

\[\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{V}{L}\sin \omega t\]

Если в начальный момент тока в цепи нет, задача Коши имеет вид:

\[L\frac{di}{dt}+Ri=V\sin \omega t, \quad i(0)=0\]

Решение:

\[i(t)=\frac{V}{R^2+\omega^2L^2}\left(R\sin \omega t-\omega L\cos \omega t+\omega L e^{-\frac{R}{L}t}\right)\]

Здесь последний член \( \omega L e^{-\frac{R}{L}t} \) со временем исчезает, а ток становится установившимся переменным током.

0 0 Пожаловаться