Торт упакован в коробку с восьмиугольным основанием. Высота боковых граней в два раза меньше диаметра торта. Подарок обвязан лентой. Известно, что лента обязательно проходит через середину каждой вертикальной грани коробки, скрещиваясь на её дне и крышке. Если взять ту же самую длину ленты и упаковать такой торт в шестиугольную коробку, то останется 114 см этой же ленты. Найди радиус этого торта.
(Условно торт прилегает к коробке, расстояния между его краем и гранями коробки нет.)

Обозначим радиус торта через \( r \). Тогда диаметр торта равен \( 2r \), а высота коробки в два раза меньше диаметра, значит:

\[h=r\]

Торт прилегает к граням коробки, поэтому основание коробки — правильный многоугольник, описанный около окружности радиуса \( r \). Расстояние от центра крышки до середины каждой стороны основания равно \( r \).

Лента проходит через середину каждой вертикальной грани, а на крышке и дне идёт от центра к серединам сторон. Для одной грани длина части ленты равна:

\[r+h+r=3r\]

У восьмиугольной коробки таких граней \( 8 \), поэтому длина ленты:

\[8\cdot 3r=24r\]

У шестиугольной коробки:

\[6\cdot 3r=18r\]

По условию после упаковки в шестиугольную коробку останется \( 114 \) см той же ленты:

\[24r-18r=114\]

\[6r=114\]

\[r=19\]

Ответ: радиус торта равен \( 19 \) см.

0 0 Пожаловаться