Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
1) y' - 1 = e^x; x=0; y=1
2) y' + 8x³y = 0; x=0; y=5

Решим обе задачи Коши по порядку.

1) $y' - 1 = e^x,\quad y(0)=1$

Перепишем уравнение:

Интегрируем по $x$:

Теперь используем начальное условие $y(0)=1$:

Отсюда:

Ответ:

2) $y' + 8x^3 y = 0,\quad y(0)=5$

Перепишем уравнение:

Разделим переменные:

Интегрируем обе части:

Переходим к экспоненте:

Используем условие $y(0)=5$:

Значит $C=5$.

Ответ:

Итог:

1. $y = e^x + x$

2. $y = 5e^{-2x^4}$