а) Точка вне плоскости треугольника удалена от каждой из его вершин на 5 см и от каждой из его сторон на 4 см. Найдите площадь треугольника и расстояние от данной точки до его плоскости.

Обозначим данную точку через $O$, а треугольник — через $ABC$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра из точки $O$ на плоскость треугольника. Тогда $OH$ — расстояние от точки до плоскости треугольника, которое нужно найти.

Так как:

то точка $H$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Обозначим радиус этой окружности через $R$, а расстояние $OH$ через $h$.

Из прямоугольного треугольника $OHA$:

Так как $HA=R$, получаем:

то есть

Теперь рассмотрим расстояние от точки $O$ до любой стороны треугольника, например до стороны $AB$. Оно равно 4 см. Перпендикуляр от $O$ к $AB$ вместе с $OH$ и расстоянием от $H$ до $AB$ образует прямоугольный треугольник:

где $d$ — расстояние от центра описанной окружности $H$ до стороны $AB$.

Так как расстояние от $O$ до всех сторон одинаково, расстояния от $H$ до всех сторон треугольника тоже одинаковы. Значит, $H$ является центром вписанной окружности. Следовательно, центр описанной и вписанной окружностей совпадает, а это возможно только для равностороннего треугольника.

Пусть радиус вписанной окружности равен $r$. Для равностороннего треугольника:

Из условия:

то есть

Также:

Подставим $R=2r$:

Вычтем первое равенство:

Тогда

Для равностороннего треугольника со стороной $a$:

Отсюда:

Площадь равностороннего треугольника:

Подставляем $a=6$:

Теперь найдём расстояние от точки $O$ до плоскости треугольника: