Имеется много белых, красных и синих квадратов со стороной 10 см каждый. Сколько из них можно составить различных по раскраске квадратов стороной 20 см, если каждый большой квадрат составлять из четырёх малых?

Ответ: 24 различных по раскраске квадрата.

Решение:

Имеются маленькие квадраты трёх цветов: белого, красного и синего. Сторона каждого маленького квадрата равна 10 см.

Чтобы получить большой квадрат со стороной 20 см, нужно расположить четыре маленьких квадрата в два ряда по два квадрата.

При подсчёте будем учитывать, что квадраты, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми по раскраске.

Рассмотрим все возможные случаи.

1. Все четыре маленьких квадрата одного цвета.

Возможны три варианта:

• Все четыре белые.

• Все четыре красные.

• Все четыре синие.

Получаем 3 варианта.

2. Используются ровно два цвета.

Здесь возможны два случая.

Первый случай: три квадрата одного цвета, а четвёртый — другого.

Для трёх одинаковых квадратов можно выбрать любой из трёх цветов, а для оставшегося — любой из двух других.

Получаем: $3\cdot2=6$ вариантов.

Второй случай: два квадрата одного цвета и два другого.

Выбрать пару цветов можно тремя способами. При этом квадраты каждого цвета могут располагаться двумя существенно различными способами: рядом друг с другом или по диагонали.

Получаем: $3\cdot2=6$ вариантов.

Всего при использовании двух цветов:

3. Используются все три цвета.

Поскольку маленьких квадратов четыре, один цвет обязательно повторяется дважды, а два остальных встречаются по одному разу.

Повторяющийся цвет можно выбрать тремя способами.

Два квадрата повторяющегося цвета могут располагаться:

• По диагонали — один вариант расположения остальных цветов с учётом поворотов.

• Рядом друг с другом — два варианта расположения остальных цветов.

Таким образом, для каждого повторяющегося цвета имеется три варианта раскраски.

Всего:

4. Подсчитаем общее количество.

Сложим количество вариантов во всех случаях:

Ответ: из маленьких квадратов трёх цветов можно составить 24 различных по раскраске больших квадрата со стороной 20 см, если раскраски, совпадающие при повороте, считать одинаковыми.