Найдите максимально возможное количество острых углов выпуклого многоугольника.

Ответ: максимально возможное количество острых углов выпуклого многоугольника равно 3.

Доказательство.

Известно, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.

Внутренний и смежный с ним внешний угол многоугольника в сумме составляют $180^\circ$.

Если внутренний угол острый, то он меньше $90^\circ$. Следовательно, соответствующий ему внешний угол больше $90^\circ$.

Предположим, что у выпуклого многоугольника есть хотя бы 4 острых угла. Тогда каждому из них соответствует внешний угол, больший $90^\circ$.

Таким образом, сумма только этих четырёх внешних углов будет больше

Но это противоречит тому, что сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника равна $360^\circ$.

Значит, у выпуклого многоугольника не может быть четырёх или более острых углов. Их количество не превосходит трёх.

Остаётся показать, что три острых угла действительно могут существовать.

Рассмотрим равносторонний треугольник. Каждый его угол равен $60^\circ$, то есть все три угла острые. При этом треугольник является выпуклым многоугольником.

Следовательно, максимально возможное количество острых углов выпуклого многоугольника действительно равно трём.