дан параллелепипед abcda1b1c1d1. докажите, что плоскости a1bc1 и acd1 параллельны

Доказательство.

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Докажем, что плоскости $A_1BC_1$ и $ACD_1$ параллельны.

Для этого достаточно доказать, что две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

1. Так как в параллелепипеде противоположные грани параллельны, то \[ A_1B \parallel D_1C. \] Однако $D_1C$ не лежит в плоскости $ACD_1$, поэтому воспользуемся другим способом.

2. Введём векторы: \[ \overrightarrow{AB}=\vec a,\quad \overrightarrow{AD}=\vec b,\quad \overrightarrow{AA_1}=\vec c. \]

Тогда:

Заметим, что

Более непосредственно, направляющие векторы плоскости $A_1BC_1$ можно выразить через направляющие векторы плоскости $ACD_1$, поэтому эти плоскости параллельны.

Следовательно,