Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, основанием которого является ромб ABCD, угол BAD=30°, AB=18, BB₁=12. Найти площадь AB₁C₁D.

Рассмотрим грань $AB_1C_1D$ как параллелограмм, натянутый на векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AB_1}$.

Заметим, что

причём $\overrightarrow{AA_1}\perp$ плоскости основания, а $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ лежат в основании. Тогда площадь искомого параллелограмма

Вектор $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}$ направлен вертикально (перпендикулярно основанию), а $\overrightarrow{AA_1}\times\overrightarrow{AD}$ — горизонтально (лежит в основании), поэтому эти слагаемые взаимно перпендикулярны и их модули суммируются по теореме Пифагора:

Теперь подставим длины. В основании — ромб со стороной $AB=AD=18$ и углом $\angle BAD=30^\circ$, высота параллелепипеда $AA_1=BB_1=12$.

1. $|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|=|AB|\cdot|AD|\cdot\sin30^\circ=18\cdot18\cdot\frac12=162.$