Существует ли число, которое делится на 737 и десятичная запись которого состоит из единиц и нулей?

Да, такое число существует.

Рассмотрим числа, состоящие только из единиц:

\(1, 11, 111, 1111, \ldots\)

При делении на \(737\) возможны только \(737\) разных остатков: от \(0\) до \(736\).

Если среди этих чисел есть число с остатком \(0\), то оно делится на \(737\), и задача решена.

Если остатка \(0\) нет, то среди первых \(738\) таких чисел два обязательно дадут одинаковый остаток. Тогда их разность делится на \(737\). А разность двух чисел вида \(111\ldots111\) имеет десятичную запись только из единиц и нулей, например:

\[111111 - 111 = 111000\]

Значит, существует число, которое делится на \(737\) и записывается только единицами и нулями.

0 0 Пожаловаться