Докажите равенство
(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^16+2^16)=0.2(3^32-2^32)

Докажем равенство:

\[(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})=0{,}2(3^{32}-2^{32})\]

Используем формулу:

\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]

Пусть \(a=3^2\), \(b=2^2\). Тогда \(a-b=3^2-2^2=9-4=5\).

Умножим левую часть на \(5\):

\[5(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})\]

Так как \(5=3^2-2^2\), получаем:

\[(3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})\]

Последовательно применяем разность квадратов:

\[(3^4-2^4)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})\]

\[(3^8-2^8)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})\]

\[(3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})=3^{32}-2^{32}\]

Значит,

\[5\cdot(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})=3^{32}-2^{32}\]

Делим обе части на \(5\):

\[(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})=\frac{1}{5}(3^{32}-2^{32})\]

Так как \(\frac{1}{5}=0{,}2\), равенство доказано.

0 0 Пожаловаться