Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривой y = 1/3 x^3 + x^2 + 1/3.

Дана функция:

\[y=\frac{1}{3}x^3+x^2+\frac{1}{3}\]

Найдём вторую производную. Сначала первая:

\[y'=x^2+2x\]

Теперь вторая:

\[y''=2x+2\]

Точка перегиба возможна там, где \(y''=0\):

\[2x+2=0\]

\[x=-1\]

Проверим знак второй производной:

• при \(x0\), кривая выпукла вниз.

Найдём значение функции при \(x=-1\):

\[y(-1)=\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2+\frac{1}{3}=1\]

Ответ: выпукла вверх на \((-\infty;-1)\), выпукла вниз на \((-1;+\infty)\). Точка перегиба: \((-1;1)\).

0 0 Пожаловаться