Помогите. Доказать, что функция f(x) и g(x) при x->0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.
f(x) = sin*3x - sin*x
g(x) = 5x
и можно с объяснением пожалуйста.

Дано: \(f(x)=\sin 3x-\sin x\), \(g(x)=5x\).

Чтобы доказать, что это бесконечно малые одного порядка, найдём предел их отношения:

\[\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin 3x-\sin x}{5x}\]

Используем формулу: \(\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\).

Тогда:

\[\frac{\sin 3x-\sin x}{5x}=\frac{2\cos 2x\sin x}{5x}=\frac{2}{5}\cos 2x\cdot\frac{\sin x}{x}\]

При \(x\to0\): \(\cos 2x\to1\), \(\frac{\sin x}{x}\to1\). Значит,

\[\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{5}\]

Предел существует и не равен нулю, поэтому \(f(x)\) и \(g(x)\) являются бесконечно малыми одного порядка малости.

0 0 Пожаловаться