Исследовать ряд на сходимость с объяснением:
(2n+1) tg(π/3^n)

Рассмотрим ряд

\[\sum (2n+1)\tan\left(\frac{\pi}{3^n}\right).\]

При больших \(n\) угол \(\frac{\pi}{3^n}\) очень мал, поэтому \(\tan x\sim x\) при \(x\to0\). Значит, общий член ряда ведёт себя так:

\[(2n+1)\tan\left(\frac{\pi}{3^n}\right)\sim \frac{\pi(2n+1)}{3^n}.\]

Ряд \(\sum \frac{2n+1}{3^n}\) сходится: знаменатель растёт экспоненциально, то есть намного быстрее числителя. Например, по признаку Даламбера отношение соседних членов стремится к \(\frac13<1\).

Следовательно, исходный ряд сходится, причём сходится абсолютно.

0 0 Пожаловаться