Функция y = lg(cos x + 1). Нужно: 1. Найти область определения. 2. Является ли чётной или нечётной. 3. Является ли периодической. 4. Найти точки пересечения с осями координат. 5. Исследовать знак функции. 6. Найти вертикальные асимптоты. 7. Исследовать поведение функции на бесконечность. 8. Исследовать на возрастание и убывание. 9. Точки перегиба, выпуклость, вогнутость. Построить график функции не по точкам.

Рассмотрим функцию \(y=\lg(1+\cos x)\).

1. Область определения. Логарифм определён, когда его аргумент положителен:

\[1+\cos x>0.\]

Значит, \(x\ne \pi+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

2. Чётность. Функция чётная, так как \(\cos(-x)=\cos x\), поэтому \(y(-x)=y(x)\).

3. Периодичность. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом \(2\pi\).

4. Пересечение с осями.

• С осью \(Oy\): при \(x=0\) получаем \(y=\lg2\). Точка: \((0;\lg2)\).
• С осью \(Ox\): \(\lg(1+\cos x)=0\), откуда \(\cos x=0\). Поэтому \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\).

5. Знак функции.

• \(y>0\), если \(\cos x>0\);
• \(y=0\), если \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\);
• \(y<0\), если \(\cos x<0\), кроме точек, где функция не определена.

6. Вертикальные асимптоты. Прямые \(x=\pi+2\pi k\). При приближении к ним \(y\to-\infty\).

7. Поведение на бесконечности. Пределов при \(x\to+\infty\) и \(x\to-\infty\) нет, потому что функция периодическая. Её наибольшее значение равно \(\lg2\), а снизу она не ограничена.

8. Возрастание и убывание. На каждом промежутке между соседними асимптотами функция возрастает на \((-\pi+2\pi k;\,2\pi k)\) и убывает на \((2\pi k;\,\pi+2\pi k)\). Максимум достигается при \(x=2\pi k\): \(y=\lg2\).

9. Выпуклость и точки перегиба. Вторая производная отрицательна на всей области определения, поэтому график выпуклый вниз. Точек перегиба нет.

График. Он состоит из одинаковых периодических ветвей. В каждой ветви график поднимается от \(-\infty\) до точки \((2\pi k;\lg2)\), затем снова опускается к \(-\infty\). По обе стороны от каждой прямой \(x=\pi+2\pi k\) находятся вертикальные асимптоты.

0 0 Пожаловаться