Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.
Пример: найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции: y = –x^4 + 6x^2 + 3x – 2.

Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости, вычислим вторую производную.

\[y=-x^4+6x^2+3x-2\]

\[y'=-4x^3+12x+3\]

\[y''=-12x^2+12=12(1-x^2)\]

Найдём, когда вторая производная равна нулю:

\[12(1-x^2)=0\]

\[x=-1,\quad x=1\]

• При \(x<-1\) и \(x>1\): \(y''<0\), график направлен вниз.
• При \(-1<x<1\): \(y''>0\), график направлен вверх.

Знак второй производной меняется в точках \(x=-1\) и \(x=1\), поэтому это точки перегиба.

\[y(-1)=0,\quad y(1)=6\]

Ответ: график направлен вниз на \(( -\infty;-1)\) и \((1;+\infty)\); направлен вверх на \((-1;1)\). Точки перегиба: \((-1;0)\) и \((1;6)\).

0 0 Пожаловаться