Найти точки перегиба функции y = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 50.

Ответы на вопрос

Отвечает Вербицкий Александр.

Для нахождения точек перегиба функции $y = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 50$ , нужно выполнить следующие шаги:

y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 50) = 4x^3 - 36x^2 + 96x

y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 36x^2 + 96x) = 12x^2 - 72x + 96

Найдем точки перегиба. Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю, то есть $y'' = 0$ .

Решим уравнение $12x^2 - 72x + 96 = 0$ :

12(x^2 - 6x + 8) = 0

Теперь решаем квадратное уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4

Корни уравнения:

x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{6 \pm 2}{2}

Таким образом, получаем два корня:

x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2

Проверим, что это действительно точки перегиба. Для этого нужно проверить знак третьей производной в точках $x = 2$ и $x = 4$ .

Найдем третью производную функции:

y''' = \frac{d}{dx}(12x^2 - 72x + 96) = 24x - 72

Подставим значения $x = 2$ и $x = 4$ в третью производную:

y'''(2) = 24(2) - 72 = 48 - 72 = -24 \quad (\text{отрицательно})

y'''(4) = 24(4) - 72 = 96 - 72 = 24 \quad (\text{положительно})

Поскольку третья производная меняет знак, это подтверждает, что точки $x = 2$ и $x = 4$ являются точками перегиба.

Ответ: Точки перегиба функции $y = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 50$ — это $x = 2$ и $x = 4$ .

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос