Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 2 см, боковое ребро составляет с высотой

Ответы на вопрос

Отвечает Шлычков Демьян.

Дана правильная треугольная пирамида, значит в основании лежит равносторонний треугольник, а высота пирамиды проходит через центр основания.

Пусть:

высота основания равна $2$ см;
боковое ребро образует с высотой пирамиды угол $30^\circ$ ;
нужно найти объём $V$ .

Основание — равносторонний треугольник. Его высота равна:

h_{\text{осн}} = 2

Для равностороннего треугольника высота выражается через сторону $a$ :

h_{\text{осн}}=\frac{a\sqrt3}{2}

Тогда:

2=\frac{a\sqrt3}{2}

a=\frac{4}{\sqrt3}

Площадь основания:

S_{\text{осн}}=\frac12 ah_{\text{осн}}

S_{\text{осн}}=\frac12 \cdot \frac{4}{\sqrt3}\cdot 2

S_{\text{осн}}=\frac{4}{\sqrt3}

Теперь найдём высоту пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Центр равностороннего треугольника делит его высоту в отношении $2:1$ , считая от вершины треугольника. Поэтому расстояние от центра основания до вершины треугольника равно:

R=\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{4}{3}

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

высотой пирамиды $H$ ;
расстоянием от центра основания до вершины основания $R=\frac43$ ;
боковым ребром.

Боковое ребро составляет с высотой пирамиды угол $30^\circ$ , значит:

\tan 30^\circ=\frac{R}{H}

\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\frac43}{H}

Отсюда:

H=\frac43\sqrt3

H=\frac{4\sqrt3}{3}

Объём пирамиды находится по формуле:

V=\frac13 S_{\text{осн}}H

Подставим значения:

V=\frac13\cdot \frac{4}{\sqrt3}\cdot \frac{4\sqrt3}{3}

V=\frac13\cdot \frac{16}{3}

V=\frac{16}{9}

Ответ:

\boxed{V=\frac{16}{9}\text{ см}^3}

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 2 см, боковое ребро составляет с высотой пирамиды угол 30 градусов. Найти V.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика