Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром 10, если боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным 10, и углом 45° между боковым ребром и плоскостью основания, нужно выполнить несколько шагов.

1. Площадь основания пирамиды:
   Основание пирамиды — правильный треугольник. Для нахождения площади основания нам нужно сначала найти его сторону.
   Обозначим сторону основания треугольника через $a$.
   Из условия задачи известно, что угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45°. Это значит, что угол между боковым ребром и высотой, проведенной из вершины пирамиды до центра основания, также 45°.

2. Высота бокового ребра:
   Пусть $h_b$ — высота бокового ребра. Мы знаем, что боковое ребро составляет угол 45° с плоскостью основания, и оно является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды и высотой бокового ребра. Так как угол 45° означает, что катеты прямоугольного треугольника равны, то высота бокового ребра $h_b$ равна $10 \times \sin(45^\circ) = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$.

3. Высота пирамиды:
   Теперь, зная высоту бокового ребра, можно найти высоту самой пирамиды, которая будет перпендикулярна к основанию. Высота пирамиды $h$ равна $h_b$, так как боковое ребро и высота пирамиды образуют одинаковые углы с плоскостью основания. То есть, высота пирамиды $h = 5\sqrt{2}$.

4. Площадь основания:
   Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4},$$

   где $a$ — сторона основания. Сначала нужно найти $a$. Поскольку боковое ребро и высота основания образуют прямой угол, то $a$ можно найти из треугольника, где $a/2$ — основание, $h$ — высота, а $10$ — гипотенуза:

   $$\left( \frac{a}{2} \right)^2 + h^2 = 10^2.$$

   Подставим $h = 5\sqrt{2}$:

   $$\left( \frac{a}{2} \right)^2 + (5\sqrt{2})^2 = 10^2,$$ $$\left( \frac{a}{2} \right)^2 + 50 = 100,$$ $$\left( \frac{a}{2} \right)^2 = 50,$$ $$\frac{a}{2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2},$$ $$a = 10\sqrt{2}.$$

5. Вычисление объема пирамиды:
   Объем пирамиды вычисляется по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} S h,$$

   где $S$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды. Подставим значения:

   $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(10\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{200 \sqrt{3}}{4} = 50\sqrt{3},$$ $$V = \frac{1}{3} \times 50\sqrt{3} \times 5\sqrt{2}.$$

   Упростим выражение:

   $$V = \frac{1}{3} \times 50 \times 5 \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \frac{1}{3} \times 250 \times \sqrt{6}.$$