Решите уравнение 4sin²x - 12sinx + 5 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; 2π]. Объясните, почему x = π/6 и x = 5π/6. Почему второй x такой? Откуда берутся эти числа?

Для решения уравнения $4\sin^2 x - 12\sin x + 5 = 0$, сначала преобразуем его в квадратное уравнение относительно $\sin x$. Обозначим $y = \sin x$, тогда уравнение принимает вид:

Это стандартное квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Для этого вычислим дискриминант:

Дискриминант положительный, следовательно, уравнение имеет два корня. Находим их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

Получаем два значения для $y$:

Теперь возвращаемся к переменной $\sin x$ и решаем два уравнения:

1. $\sin x = 2.5$

2. $\sin x = 0.5$

Первое уравнение $\sin x = 2.5$ не имеет решений, так как синус угла не может быть больше 1. Следовательно, остаемся только с уравнением $\sin x = 0.5$.

Решим $\sin x = 0.5$. Мы знаем, что синус угла равен 0.5 для углов:

где $k$ — целое число.

1. Для $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, при $k = 0$, получаем $x = \frac{\pi}{6}$.

2. Для $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, при $k = 0$, получаем $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь найдем все решения, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$.

Для $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$ оба значения лежат в пределах отрезка $[-\pi; 2\pi]$.

Таким образом, корни уравнения на данном отрезке: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Почему второй корень $x = \frac{5\pi}{6}$?

Это решение получается из того, что $\sin x = 0.5$ для угла $\frac{\pi}{6}$ и для его симметричного угла относительно оси $\pi$, который равен $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Оба угла дают одинаковое значение синуса (0.5), но находятся в разных четвертях.