Решите уравнение 2sin^2x+4=3sqrt3sin(3п/2+x) Укажите корни этого уравнения,принадлежащие отрезку

Ответы на вопрос

Отвечает Борзова Лаура.

Для решения уравнения $2\sin^2{x} + 4 = 3\sqrt{3} \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$ , начнем с того, что преобразуем правую часть уравнения.

Используем формулу для синуса суммы углов:

\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos{x} + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin{x}

Так как $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ и $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ , то:

\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos{x}

Подставляем это в исходное уравнение:

2\sin^2{x} + 4 = 3\sqrt{3} (-\cos{x})

Это уравнение упрощается до:

2\sin^2{x} + 4 = -3\sqrt{3} \cos{x}

Теперь подставим выражение $\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}$ (по основной тригонометрической тождественности):

2(1 - \cos^2{x}) + 4 = -3\sqrt{3} \cos{x}

Упростим:

2 - 2\cos^2{x} + 4 = -3\sqrt{3} \cos{x}

6 - 2\cos^2{x} = -3\sqrt{3} \cos{x}

Теперь перенесем все элементы на одну сторону:

-2\cos^2{x} + 3\sqrt{3} \cos{x} + 6 = 0

Это квадратное уравнение относительно $\cos{x}$ . Пусть $y = \cos{x}$ . Тогда уравнение примет вид:

-2y^2 + 3\sqrt{3} y + 6 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

где $a = -2$ , $b = 3\sqrt{3}$ , $c = 6$ . Подставляем эти значения в формулу:

y = \frac{-3\sqrt{3} \pm \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 4(-2)(6)}}{2(-2)}

Вычисляем дискриминант:

(3\sqrt{3})^2 = 27, \quad 4(-2)(6) = -48

Решите уравнение 2sin^2x+4=3sqrt3sin(3п/2+x) Укажите корни этого уравнения,принадлежащие отрезку [-5п/2,-п]