Высота боковой грани правильной треугольной пирамиды, проведённая к ребру основания, равна 10, а высота основания пирамиды равна 18. Найдите высоту пирамиды.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду: её основание — равносторонний треугольник, а вершина находится над центром основания (над точкой пересечения медиан), причём высота пирамиды опускается именно в этот центр.

Дано:

• Высота боковой грани, проведённая к ребру основания (то есть апофема пирамиды, высота боковой грани к стороне основания) равна $10$.

• Высота основания пирамиды (высота равностороннего треугольника) равна $18$.

• Найти высоту пирамиды $h$.

1) Найдём расстояние от центра основания до ребра основания

В равностороннем треугольнике высота равна $18$. Центр (точка пересечения медиан) делит каждую медиану в отношении $2:1$ от вершины, поэтому расстояние от центра до стороны (это радиус вписанной окружности) равно трети высоты треугольника:

Это важный момент: точка основания высоты пирамиды — центр треугольника, а апофема боковой грани опускается в середину ребра основания, и её проекция на основание как раз даёт расстояние от центра до этого ребра, то есть $6$.

2) Составим прямоугольный треугольник

Возьмём:

• $S$ — вершина пирамиды,

• $O$ — центр основания,

• $M$ — середина ребра основания.

Тогда:

• $SM = 10$ — высота боковой грани (апофема),

• $OM = 6$ — расстояние от центра основания до ребра,

• $SO = h$ — высота пирамиды.

Треугольник $SOM$ прямоугольный (так как $SO$ перпендикулярно плоскости основания, а $OM$ лежит в основании), поэтому:

Ответ: $8$.