Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30 градусов. Найти объём пирамиды.

Дано: правильная четырёхугольная (то есть с квадратным основанием) пирамида, высота $h=6$ см. Высота образует с боковой гранью угол $30^\circ$. Найти объём.

1) Что значит “угол между высотой и боковой гранью”

Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её ортогональной (перпендикулярной) проекцией на плоскость.

Пусть:

• $S$ — вершина пирамиды,

• $O$ — центр квадрата основания,

• тогда $SO$ — высота, $SO=h=6$.

Возьмём одну боковую грань, например грань $SAB$, где $AB$ — сторона основания.

Проведём из точки $O$ перпендикуляр к плоскости грани $SAB$. Обозначим основание перпендикуляра $H$. Тогда:

• $OH$ — расстояние от точки $O$ до плоскости грани $SAB$,

• $SH$ лежит в плоскости грани $SAB$ и является проекцией отрезка $SO$ на эту плоскость.

В прямоугольном треугольнике $SOH$ (прямой угол при $H$):

По условию угол $30^\circ$, значит:

2) Выразим $OH$ через сторону основания

Пусть сторона квадрата основания равна $a$. Тогда площадь основания $S_{\text{осн}}=a^2$.

Для правильной пирамиды можно получить (например, координатами или через геометрию сечений), что расстояние от центра основания $O$ до плоскости боковой грани равно:

Подставляем $h=6$ и $OH=3$:

Сокращаем на 3:

Возводим в квадрат:

Значит площадь основания:

3) Объём пирамиды

Ответ: $96\ \text{см}^3$.