Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональное сечение пирамиды — прямоугольный треугольник, площадь которого равна 32 см².

Разберёмся по шагам.

В правильной четырёхугольной пирамиде «диагональным сечением» называют сечение плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ квадрата основания. Получаем треугольник $SAC$ (вершина $S$ и противоположные вершины основания $A$ и $C$). В такой пирамиде $SA=SC=l$ (наклонные ребра), а $AC=a\sqrt2$ (диагональ основания со стороной $a$).

По условию это сечение — прямоугольный треугольник. В равнобедренном треугольнике $SAC$ прямой угол может быть только при вершине $S$. Значит,

Площадь этого сечения равна $32\ \text{см}^2$. Для прямоугольного треугольника с равными катетами $SA=SC=l$:

Тогда $a=l=8$.

Высота пирамиды $h$ находитcя из $\;l^2=h^2+OA^2$, где $OA=\frac{a}{\sqrt2}= \frac{8}{\sqrt2}$:

Для площади боковой поверхности нужна апофема боковой грани $s$ — высота равнобедренного треугольника боковой грани к стороне основания. В прямоугольном треугольнике $SOM$ ( $O$ — центр основания, $M$ — середина стороны) имеем

значит $s=4\sqrt3$.

Площадь боковой поверхности регулярной пирамиды:

Ответ: $\boxed{64\sqrt3\ \text{см}^2}$.