Два игрока по очереди расставляют числа от 1 до 64 на доске 8×8. В конце игры считают сумму чисел в каждой строке. Первый игрок хочет, чтобы максимальная из таких сумм была как можно больше, а второй − чтобы она была как можно меньше. Чему будет равна сумма чисел при правильной игре обоих игроков?

Ответ: 260.

Сумма всех чисел от \(1\) до \(64\):

\[\frac{1+64}{2}\cdot 64=2080\]

На доске \(8\) строк, значит средняя сумма в строке равна:

\[\frac{2080}{8}=260\]

Поэтому хотя бы в одной строке сумма не меньше \(260\). Первый игрок уже этим гарантирует, что максимальная сумма будет не меньше \(260\).

Второй игрок может не дать получить больше. Он заранее разбивает числа на пары с суммой \(65\): \(1\) и \(64\), \(2\) и \(63\), ..., \(32\) и \(33\). После каждого хода первого игрока второй ставит парное число в ту же строку. Тогда в каждой строке окажется \(4\) такие пары, а сумма строки будет:

\[4\cdot 65=260\]

Значит при правильной игре обоих игроков максимальная сумма в строке будет равна 260.

0 0 Пожаловаться