Петя написал на доске 20 целых чисел. Затем он нашел сумму каждой пары чисел, написанных на доске. Ровно 96 из этих сумм оказались нечетными. Сколько среди 20 написанных на доске чисел четных, если известно, что их больше, чем нечетных?

Петя написал на доске 20 чисел. Чтобы понять, сколько из них четных, давайте разберемся, что происходит с суммами чисел.

Рассмотрим свойства сумм:

• Сумма двух четных чисел всегда четная.

• Сумма двух нечетных чисел всегда четная.

• Сумма четного и нечетного числа всегда нечетная.

Петя посчитал все возможные суммы каждой пары чисел из 20. Всего таких пар будет:

Из этих 190 сумм 96 оказались нечетными, следовательно, оставшиеся 190 - 96 = 94 суммы были четными.

Что можно вывести из этого:

Нечетная сумма возникает только в случае, если одно число из пары четное, а другое — нечетное. То есть, количество нечетных сумм зависит от того, сколько пар состоит из одного четного и одного нечетного числа.

Пусть $x$ — это количество четных чисел, а $y$ — количество нечетных чисел на доске. Из условия задачи мы знаем, что:

и также, что $x > y$, то есть чисел четных больше, чем нечетных.

Количество нечетных сумм:

Количество нечетных сумм можно найти как произведение количества четных чисел на количество нечетных чисел:

Теперь у нас система уравнений:

1. $x + y = 20$

2. $x \times y = 96$

Решим эту систему.

Из первого уравнения выразим $y$:

Подставим это во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Приведем уравнение к стандартному виду:

Решим это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Так как $x > y$, то $x = 12$, а $y = 8$.

Ответ:

Четных чисел на доске 12.