Сформулируйте определение ромба, докажите теорему о свойстве диагоналей ромба.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Теорема. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам.

Доказательство. Пусть диагонали ромба \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Так как ромб — параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам: \(AO=OC\), \(BO=OD\).

Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(AOD\). В них \(AB=AD\), так как это стороны ромба; \(BO=OD\); сторона \(AO\) общая. Значит, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому \(\angle AOB=\angle AOD\). Эти углы смежные, а сумма смежных углов равна \(180^\circ\), следовательно, каждый из них равен \(90^\circ\). Значит, диагонали перпендикулярны.

Треугольники \(ABD\) и \(CBD\) равны по трём сторонам: \(AB=BC\), \(AD=CD\), \(BD\) — общая сторона. Поэтому диагональ \(BD\) делит углы \(B\) и \(D\) пополам. Аналогично диагональ \(AC\) делит углы \(A\) и \(C\) пополам.

0 0 Пожаловаться