Какие из следующих утверждений верны? 1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей. 2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей. 3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии. 4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.

Разберём каждое утверждение отдельно и аккуратно, что именно понимается под симметрией.

Центр симметрии фигуры — это точка $O$, такая что при повороте фигуры на $180^\circ$ вокруг $O$ (то же самое, что центральная симметрия относительно $O$) фигура переходит сама в себя.

1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

Верно.

У прямоугольника диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. Точка пересечения диагоналей — середина каждой диагонали, то есть она является “серединой” фигуры.

Если взять любую точку прямоугольника и отразить её центрально относительно этой точки пересечения (или повернуть весь прямоугольник на $180^\circ$), она попадёт в точку прямоугольника, и вся фигура совместится сама с собой. Значит, это и есть центр симметрии.

2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

Верно.

Ромб — это параллелограмм (просто у него все стороны равны). А у любого параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии, потому что диагонали пересекаются и делятся пополам.

При повороте ромба на $180^\circ$ вокруг точки пересечения диагоналей ромб переходит сам в себя. Значит, утверждение верно.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

Верно.

Правильный пятиугольник имеет равные стороны и равные углы, он “одинаков” при поворотах и отражениях.

Ось симметрии в правильном пятиугольнике проходит:

• через вершину и середину противоположной стороны.

Таких вершин пять, значит и таких осей тоже пять.

4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.

Неверно.

Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии (перпендикуляр к основаниям, проходящий через их середины), но центра симметрии обычно не имеет.

Почему? Центральная симметрия (поворот на $180^\circ$) сохраняет параллельность и переводит каждую сторону в “противоположную” сторону той же длины и положения. Фигуры с центром симметрии — например, параллелограммы — имеют попарно параллельные противоположные стороны. У трапеции же параллельна только одна пара сторон (основания), боковые стороны не параллельны. Поэтому трапеция в общем случае не может иметь центр симметрии.

Точка пересечения диагоналей у трапеции существует, но она не является центром симметрии (кроме частного случая, когда трапеция превращается в параллелограмм, то есть фактически перестаёт быть “обычной” трапецией).

Итог

Верные утверждения: 1), 2), 3).
Неверное утверждение: 4).