Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений:
1. y" - 8y' + 25y = 0
2. y" + 5y' + 6y = 0
3. y" - 2y' + y = 0

Для каждого уравнения составим характеристическое уравнение, заменив \(y\) на \(r\).

1. \(y''-8y'+25y=0\)

\[r^2-8r+25=0\]

Корни: \(r=4\pm3i\).

\[y=e^{4x}(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x)\]

2. \(y''+5y'+6y=0\)

\[r^2+5r+6=0\]

\[(r+2)(r+3)=0\]

Корни: \(r_1=-2\), \(r_2=-3\).

\[y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}\]

3. \(y''-2y'+y=0\)

\[r^2-2r+1=0\]

\[(r-1)^2=0\]

Получен двойной корень \(r=1\).

\[y=(C_1+C_2x)e^x\]

Здесь \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные постоянные.

0 0 Пожаловаться