Скорость по какой формуле рассчитывать при движении парашютиста?

Отвечаю как участник на Q&A, без ссылок.

Если коротко: «скорость парашютиста» одной фиксированной формулы не имеет — она зависит от выбранной модели сопротивления воздуха и от того, открыт ли купол. Ниже — рабочие формулы и когда какую использовать.

1) Базовый случай (очень грубо, на малых временах)

Если сопротивлением воздуха пренебречь (первые доли секунды после старта), то

где $g \approx 9{,}81~\text{м/с}^2$. Но уже через секунды это перестаёт быть правдой — сопротивление «тормозит» рост скорости.

2) Сопротивление пропорционально скорости (линейная модель)

Используют для прикидок или умеренных скоростей. Уравнение движения по вертикали (вниз — положительное направление):

Решение при известной начальной скорости $v_0$ в момент $t_0$:

Параметры модели:

• предельная (установившаяся) скорость $v_\infty=\dfrac{mg}{b}$;

• постоянная времени $\tau=\dfrac{m}{b}$.

Смысл: скорость экспоненциально «подползает» к $v_\infty$.

3) Сопротивление пропорционально $v^2$ (реалистичнее для парашютиста)

Это стандарт для падения в воздухе:

где $\rho$ — плотность воздуха, $C_d$ — коэффициент сопротивления формы, $A$ — эффективная площадь.

Предельная скорость (терминальная):

Скорость как функция времени (из состояния с $v_0$ в момент $t_0$):

Если старт из покоя ($v_0=0$, $t_0=0$):

Эта формула хорошо описывает как «без купола», так и «с открытым куполом» — просто у них разный $k$ (значит, разный $v_\infty$).

4) Что меняется при раскрытии парашюта

В момент раскрытия резко возрастает $A$ и эффективно $C_dA$ ⇒ коэффициент $k$ становится на порядки больше ⇒ новая терминальная скорость $v_{\infty,\text{под куполом}}$ падает до единиц м/с.

Практически это считают по участкам:

• до времени $t_1$ (купол закрыт) используете $k=k_1$, получаете $v(t_1^-)$;

• с момента $t_1$ (купол раскрылся) подставляете более крупный $k=k_2$ и решаете ту же формулу из п.3, но с начальной скоростью $v_0=v(t_1^-)$ и новым $v_{\mathrm{\infty },2}$