Всегда ли можно определить положение тела в заданный момент времени, зная начальное положение этого тела и путь, пройденный за промежуток времени?

Короткий ответ: нет, не всегда. Знания начального положения и пройденного пути (длины траектории) обычно недостаточно, чтобы однозначно восстановить положение тела в заданный момент.

Почему так:

1. Путь ≠ перемещение.
   Путь $s$ — это длина траектории: $s=\int|v|\,dt$. Он не хранит информацию о направлении. Перемещение же — вектор $\Delta\vec r=\int \vec v\,dt$. Разные движения могут дать один и тот же путь, но разные $\Delta\vec r$.

2. Контрпример на прямой.
   Тело стартует в точке $x_0$. За 10 с оно прошло путь $s=10$ м.
   Вариант А: шло вправо без остановок → $x=x_0+10$ м.
   Вариант Б: ушло вправо на 6 м, вернулось на 4 м → путь тот же $10$ м, но $x=x_0+2$ м.
   Имея лишь $x_0$ и $s$, финальную точку не определить.

3. Контрпример на окружности.
   Старт в точке на окружности радиуса $R$. Путь $s=\pi R$ (полуокружность).
   Если тело двигалось по часовой — окажемся в диаметрально противоположной точке “слева”, если против часовой — “справа”. Один и тот же $s$, разные конечные положения.

4. Даже зная форму траектории, неоднозначность остаётся.
   Если траектория самопересекается (восьмёрка, петли), одно и то же значение $s$ от старта может соответствовать нескольким геометрическим точкам. Нужна ещё информация о направлении обхода и истории движения.

Когда определить можно:

• 1D, известна ориентация и нет разворотов. На прямой, если известно, что скорость не меняла знак (движение строго в одну сторону), то $x=x_0\pm s$ — положение однозначно.

• По известной, не самопересекающейся траектории с заданным направлением и монотонным продвижением. Например, движемся вдоль известной кривой без возвратов; тогда «длина пройденной дуги от старта» однозначно задаёт точку.

• Если дан не только общий путь за интервал, а функция $s(t)$ (и выполнены условия выше), можно восстановить положение в каждый момент.

Итог: в общем случае нельзя. Путь — скаляр, он теряет сведения о направлении и возможных возвратах. Для однозначного определения положения нужны дополнительные ограничения (отсутствие разворотов, известное направление, несамопересекающаяся траектория) или знание векторного перемещения/скорости.