На железнодорожной станции во время маневров от равномерно движущегося поезда был отцеплен последний вагон, который стал двигаться равнозамедленно, пока не остановился. Докажите, что пройденный отцепленным вагоном путь в 2 раза меньше пути, пройденного поездом за то же время.

Пусть в момент отцепки (возьмём его за $t=0$) поезд двигался равномерно со скоростью $v$. Последний вагон в этот момент имел ту же скорость $v$, но после отцепки начал двигаться равнозамедленно с постоянным замедлением по модулю $a>0$ (то есть ускорение вагона равно $-a$) и через некоторое время остановился.

1) Время движения вагона до остановки

Скорость вагона при равнозамедленном движении:

Остановка наступает при $u(t_0)=0$, значит

2) Путь, пройденный отцепленным вагоном за это время

Путь при равнозамедленном движении:

Подставим $t_0=\dfrac{v}{a}$:

3) Путь, пройденный поездом за то же время

Поезд продолжает двигаться равномерно со скоростью $v$, значит за время $t_0$ он пройдёт:

4) Сравнение путей

Теперь сравним найденные пути:

То есть

Следовательно, путь, пройденный отцепленным вагоном до остановки, в 2 раза меньше пути, пройденного поездом за то же время.