На сколько легче камень объемом 3,5 дм³ в воде, чем в воздухе? Почему при решении этой задачи не надо знать плотность камня?

Камень в воде кажется легче из-за выталкивающей силы Архимеда. Эта сила равна весу вытесненной жидкостью (или газом) среды:

Вес (сила тяжести) камня в обоих случаях один и тот же: $mg$. Меняется только выталкивающая сила, поэтому на сколько “легче” (то есть на сколько меньше его кажущийся вес) в воде по сравнению с воздухом:

Объём камня $V=3{,}5\,\text{дм}^3 = 3{,}5\cdot 10^{-3}\,\text{м}^3$.

Берём $\rho_{\text{вода}}\approx 1000\,\text{кг/м}^3$, $\rho_{\text{воздух}}\approx 1{,}3\,\text{кг/м}^3$, $g\approx 9{,}8\,\text{Н/кг}$:

То есть камень в воде “легче”, чем в воздухе, примерно на $34\ \text{Н}$.

Если выразить это “в килограммах силы” (как часто говорят в быту): делим на $g$:

То есть примерно на $3{,}5\ \text{кг}$ (чуть меньше из-за выталкивания воздухом, но это очень малая поправка).

Почему не нужно знать плотность камня?

Потому что вопрос спрашивает не настоящий вес камня, а насколько изменится его кажущийся вес при переходе из воздуха в воду. А эта разница определяется только выталкивающими силами, а значит — только:

• объёмом тела $V$,

• плотностями среды (воды и воздуха),

• $g$.

Плотность камня нужна была бы, если бы спрашивали его массу/вес или кажущийся вес в одной среде без сравнения. Здесь же $mg$ сокращается при вычитании, и остаётся только разность выталкивающих сил.