На рисунке 218 угол ABC равен углу ACD, AD = CD. Докажите, что BC параллельна AD.

Рассмотрим треугольник $ACD$. По условию $AD = CD$, значит, треугольник $ACD$ равнобедренный с основанием $AC$. Тогда его углы при основании равны:

Также по условию дано равенство углов:

Подставим вместо $\angle ACD$ равный ему угол $\angle CAD$ из равнобедренного треугольника:

Теперь посмотрим на эти углы как на углы, образованные с общей секущей $AC$:

• угол $\angle ABC$ — это угол между прямыми $BA$ и $BC$;

• угол $\angle CAD$ — это угол между прямыми $CA$ (то есть $AC$) и $AD$.

Но важнее то, что равенство $\angle ABC = \angle CAD$ означает следующее: при пересечении прямой $AC$ двух прямых $BC$ и $AD$ получились равные соответствующие (или накрест лежащие — в зависимости от расположения на рисунке) углы.

А если при пересечении двух прямых секущей получаются равные соответствующие (или накрест лежащие) углы, то эти две прямые параллельны.

Следовательно,

Что и требовалось доказать.