При подаче на катушку постоянного напряжения 15 В сила тока в ней была 0,5 А. При подаче такого же переменного напряжения с частотой 50 Гц сила тока уменьшается на 40%. Какова индуктивность катушки?

Для решения задачи используем формулу для расчета импеданса катушки в цепи переменного тока. В случае постоянного напряжения катушка сопротивляется только своим активным сопротивлением $R$, а при переменном напряжении добавляется реактивное сопротивление индуктивности $X_L$, которое зависит от частоты тока.

1. Для постоянного напряжения:
   Из закона Ома для постоянного тока:

   $$I_{\text{пост}} = \frac{U_{\text{пост}}}{R}$$

   где $I_{\text{пост}}$ — сила тока при постоянном напряжении, $U_{\text{пост}}$ — постоянное напряжение, $R$ — сопротивление катушки.

   Задача даёт:
   $U_{\text{пост}} = 15 \, \text{В}$,
   $I_{\text{пост}} = 0,5 \, \text{А}$.
   Таким образом, сопротивление катушки можно вычислить как:

   $$R = \frac{U_{\text{пост}}}{I_{\text{пост}}} = \frac{15}{0,5} = 30 \, \text{Ом}$$

2. Для переменного тока:
   В цепи с переменным током импеданс катушки $Z$ состоит из активного сопротивления $R$ и реактивного сопротивления индуктивности $X_L$:

   $$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$$

   Для тока в цепи переменного тока при напряжении $U_{\text{перем}}$ и силе тока $I_{\text{перем}}$ выполняется закон Ома:

   $$I_{\text{перем}} = \frac{U_{\text{перем}}}{Z}$$

   Нам известно, что при подаче переменного тока сила тока уменьшилась на 40%, то есть:

   $$I_{\text{перем}} = 0,6 \cdot I_{\text{пост}} = 0,6 \cdot 0,5 = 0,3 \, \text{А}$$

   Таким образом, для переменного тока имеем:

   $$I_{\text{перем}} = \frac{U_{\text{перем}}}{Z}$$ $$0,3 = \frac{15}{\sqrt{30^2 + X_L^2}}$$

   Решаем это уравнение относительно $X_L$:

   $$\sqrt{30^2 + X_L^2} = \frac{15}{0,3} = 50$$ $$30^2 + X_L^2 = 50^2$$ $$900 + X_L^2 = 2500$$ $$X_L^2 = 2500 - 900 = 1600$$ $$X_L = \sqrt{1600} = 40 \, \text{Ом}$$

3. Индуктивность катушки:
   Реактивное сопротивление индуктивности $X_L$ связано с индуктивностью $L$ через формулу:

   $$X_L = 2\pi f L$$

   где $f$ — частота переменного тока.

   Подставляем данные:
   $f = 50 \, \text{Гц}$,
   $X_L = 40 \, \text{Ом}$.

   Решаем относительно $L$:

   $$L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{40}{2\pi \cdot 50} \approx \frac{40}{314,16} \approx 0,127 \, \text{Гн}$$